I. Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan

1. Định nghĩa:

Mỗi số phức có dạng $a+bi$, trong đó $a,b\in \mathbb{R};{{i}^{2}}=-1$. Trong đó:

+ $a$ gọi là phần thực.

+ $b$ gọi là phần ảo.

+ $i$ gọi là đơn vị ảo.

$z = a + 0i$ là số thực (phần ảo bằng 0).

$z = 0 + bi$ là số thuần ảo (phần thực bằng 0).

Số $0 = 0 + 0i$ vừa là số thực vừa là số ảo.

Tập hợp số phức ký hiệu là $\mathbb{C}.$

Mọi số thực đều là số phức nên $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$

Ví dụ: Các số $3 + 2i, – 3 + \sqrt 2 i,\frac{2}{3} – \pi i…$ là các số phức.

Số $3i, – 2i,\sqrt 5 i…$ là các số thuần ảo.

2. Biểu diễn số phức

Số phức $z=a+bi$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( a;b \right)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Các số thực có điểm biểu diễn nằm trên trục $Ox.$

Các số thuần ảo có điểm biểu diễn nằm trên trục $Oy.$lý thuyết số phức, điểm biểu diễn số phức

Ví dụ: số phức $z = – 2 + 5i$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng $Oxy$ là $M\left( { – 2;5} \right)$.

3. Hai số phức bằng nhau: khi phần thực bằng phần thức và phần ảo bằng phần ảo.

$a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=c \\& b=d \\\end{align} \right.$.

Ví dụ: Tìm hai số thực $x,y$ để $\left( {x + 3} \right) + \left( {y – 1} \right)i = \left( {2x + y} \right) + xi$.

Để hai số phức trên bằng nhau thì: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 2x + y\\y – 1 = x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x – y = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$

4. Môđun

Cho số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn là $M\left( a;b \right).$ Độ dài vectơ $\overrightarrow{OM}$ gọi là modun của $z$ và ký hiệu là $\left| z \right|.$ Vậy:

$\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Ví dụ: $\left| {3 + 4i} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$

5. Số phức liên hợp và số phức đối

Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi$ là số phức $\bar{z}=a-bi$.

Số phức đối của số phức $z=a+bi$ là số phức $-z=-a-bi.$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}z = – 3 + 5i \Leftrightarrow \bar z = – 3 – 5i\\z = – 5i \Leftrightarrow \bar z = 5i\\z = 2 \Leftrightarrow \bar z = 2\end{array}$

II. Các phép toán trên tập số phức

1. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức:

Các phép toán: cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức và ${{i}^{2}}=-1.$

$\left( a+bi \right)+\left( c+di \right)=\left( a+c \right)+\left( b+d \right)i$

$\left( a+bi \right)-\left( c+di \right)=\left( a-c \right)+\left( b-d \right)i$

$\left( a+bi \right)\left( c+di \right)=\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)i$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\left( {2 + 3i} \right) + \left( {4 – 7i} \right) = \left( {2 + 4} \right) + \left( {3 – 7} \right)i = 6 – 4i\\\left( {2 + 3i} \right) – \left( {4 – 7i} \right) = \left( {2 – 4} \right) + \left( {3 + 7} \right)i = – 2 + 10i\\\left( {2 + 3i} \right)\left( {4 – 7i} \right) = 8 – 14i + 12i – 21{i^2} = 8 – 14i + 12i + 21 = 29 – 2i\end{array}$

2. Phép chia hai số phức:

Để chia hai số phức, ta nhân cả tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{\left( c+di \right)\left( c-di \right)}=\frac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}$.

Ví dụ: $\frac{{2 + 3i}}{{4 + 7i}} = \frac{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {4 – 7i} \right)}}{{\left( {4 + 7i} \right)\left( {4 – 7i} \right)}} = \frac{{29 – 2i}}{{{4^2} + {7^2}}} = \frac{{29}}{{65}} – \frac{2}{{65}}i$

3. Các tính chất của số phức liên hợp và modun:

Các tính chất của số phức liên hợp:

1. $\bar{\bar{z}}=z$

2. $\overline{z+{z}’}=\bar{z}+\bar{{z}’}$

3. $\overline{z-{z}’}=\bar{z}-\bar{{z}’}$

4. $\overline{z.{z}’}=\bar{z}.\bar{{z}’}$

5. $\overline{\left( \frac{z}{{{z}’}} \right)}=\frac{{\bar{z}}}{{\bar{{z}’}}}$

Các tính chất của môđun

1. $\left| z \right|\ge 0$ với mọi $z\in \mathbb{C},$ $\left| z \right|=0\Leftrightarrow z=0$

2. $\left| z \right|=\left| {\bar{z}} \right|$

3. $\left| z.{z}’ \right|=\left| z \right|.\left| {{z}’} \right|$

4. $\left| \frac{z}{{{z}’}} \right|=\frac{\left| z \right|}{\left| {{z}’} \right|}$

5. $\left| z+{z}’ \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}’} \right|$

6. $\left| z-{z}’ \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| {{z}’} \right| \right|$

III. Phương trình bậc hai

1. Căn bậc hai của số âm

Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.

Số thực $a > 0$ có đúng hai căn bậc hai là : $\pm \sqrt{a}$

Số thực $a<0$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt{\left| a \right|}$

Ví dụ: Số $ – 5$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 5 $

Số $ – 9$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 9 = \pm 3i$

2. Phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ $\left( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$.

Nếu $\Delta =0$, phương trình có một nghiệm kép $z=-\frac{b}{2a}$.

Nếu $\Delta \ne 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt :

${{z}_{1,2}}=\frac{-b\pm \delta }{2a}$,

trong đó $\delta $ là một căn bậc hai của $\Delta $.

Ví dụ: Giải phương trình ${x^2} + 2x + 10 = 0$

Ta có: $\Delta ‘ = – 9 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phức: ${x_{1,2}} = \frac{{ – 1 \pm 3i}}{1} = – 1 \pm 3i$

Lưu ý: Định lý Vi-ét vẫn đúng cho phương trình bậc hai có hai nghiệm phức.