I. Hàm lũy thừa

1. Định nghĩa: Hàm số $y = {x^\alpha }$ với $\alpha \in R$ được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ: các hàm số sau là hàm lũy thừa: $y = {x^3},y = {x^{\sqrt 2 }},y = {x^{ – 4}}$

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ phụ thuộc vào số mũ $\alpha $, cụ thể như sau:

$D = R$ nếu $\alpha $ là số nguyên dương.

$D = R\backslash \left\{ 0 \right\}$ với $\alpha $ nguyên âm hoặc bằng $0.$

$D = (0; + \infty )$ với $\alpha $ không nguyên.

Ví dụ: tìm tập xác định của hàm số $y = {x^{\sqrt 2 }}$

Vì số mũ ${\sqrt 2 }$ là số không nguyên nên hàm số xác định khi $x > 0$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( {0; + \infty } \right)$

3. Đạo hàm: Hàm số $y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha \in R)$ có đạo hàm với mọi $x > 0$ và $({x^\alpha })’ = \alpha .{x^{\alpha – 1}}.$

Ví dụ: ${\left( {{x^{ – 4}}} \right)^\prime } = – 4{x^{ – 3}}$

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $(0; + \infty )$.


5. Đồ thị



Đồ thị của hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }$ luôn đi qua điểm $I(1;1).$

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: $y = {x^3},{\rm{ }}y = {x^{ – 2}},{\rm{ }}y = {x^\pi }.$

II. Hàm số mũ: $y = {a^x},(a > 0,a \ne 1)$

Ví dụ: các hàm số sau là hàm số mũ: $y = {2^x},y = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}$

1. Tập xác định: Hàm số mũ xác định với mọi $x \in R$ nên tập xác định là $D = R$.

2. Tập giá trị: Hàm số mũ luôn mang giá trị dương, hay tập giá trị của hàm số mũ là $T = (0, + \infty ),$.

3. Tính đơn điệu:

+ Khi $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ đồng biến, khi đó ta luôn có:

${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x).$

+ Khi $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến, khi đó ta luôn có:

${a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) < g(x).$

4. Đạo hàm:

$\begin{array}{l}({a^x})’ = {a^x}.\ln a \Rightarrow ({a^u})’ = u’.{a^u}.\ln a\\({e^x})’ = {e^x} \Rightarrow ({e^u})’ = {e^u}.u’\\(\sqrt[n]{u})’ = \frac{{u’}}{{n.\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}\end{array}$

5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.


III. Hàm số logarit: $y = {\log _a}x,{\rm{ }}(a > 0,{\rm{ }}a \ne 1)$

1. Tập xác định: $D = (0, + \infty )$

2.Tập giá trị: $T = R$

3.Tính đơn điệu:

+ Khi $a > 1$ thì $y = {\log _a}x$ đồng biến trên $D,$ khi đó nếu:

${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x)$

+ Khi $0 < a < 1$ thì $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $D,$ khi đó nếu:

${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x)$

4.Đạo hàm:

$\begin{array}{l}{\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}} \Rightarrow {\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}\\(\ln x)’ = \frac{1}{x},{\rm{ }}(x > 0) \Rightarrow (\ln \left| u \right|)’ = \frac{{u’}}{u}\\({\ln ^n}\left| u \right|)’ = n \cdot \frac{{u’}}{u} \cdot {\ln ^{n – 1}}\left| u \right|\end{array}$

5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.